Alojz Bajc se je rodil 20. aprila 1932 v Dupljah pri Vipavi. Kolesarstvo ga je pritegnilo že kot vajenca v ajdovski delavnici, kamor se je vsakodnevno vozil s kolesom. Prvo tekmo je odpeljal pri sedemnajstih in že takrat osvojil tretje mesto na gorskem prvenstvu Ljudske republike Slovenije. Zaradi svojih sposobnosti pri vzponih je hitro postal prepoznaven med tekmovalci.
Od leta 1953 je vozil za ljubljanski klub Odred in bil dolgoletni član državne reprezentance. Sedemkrat je nastopil na dirki po Jugoslaviji, osemkrat na dirkah po Hrvaški in Sloveniji, pogosto pa tudi na mednarodnih prizoriščih. Štirikrat se je udeležil slovite dirke miru Varšava–Berlin–Praga, prav tolikokrat dirke po Avstriji, trikrat dirke po Romuniji, nastopal pa je tudi na Tour de l'Europe ter na dirkah po Egiptu in Alžiriji. Skupno je petkrat tekmoval na svetovnem prvenstvu.
Vrhunec kariere je bila udeležba na olimpijskih igrah v Rimu, kjer je leta 1960 v cestni dirki zasedel 69. mesto. Kolesarstvu je ostal zvest tudi po zaključku aktivne športne poti. Med letoma 1965 in 1969 je kot trener vodil ekipo Odred, za svoje delo pa je leta 1969 prejel zlato plaketo Kolesarske zveze Jugoslavije.
Ljubezen do kolesarstva je prenesel tudi na potomce – kolesarsko tradicijo v družini Bajc sta nadaljevala sin Egon in vnuk Andi.